Question

一道数学题！ 求解，给详细过程的加分！！

例7、设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为0的实数。

（1）若求k关于t的函数关系式k=f(t)；

（2）试确定k=f(t)的单调区间
第一小题的问题是，
若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，试求k关于t的函数关系k=f（t）

还有一个问题就是，求f（t）的最小值！！

Answer 1

设平面内两向量与互相垂直，且∣a∣=2，∣b∣=1，又k与t是两个不同时为0的实数。（1）若与垂直，求k关于t的函数关系式；

（2）试确定函数k=f(t)的单调区间。

解：（1 )
向量a的模=2，向量b的模=1，向量a·b=0.
∵x·y=0，代入得：
-k(|a|^2+(t-kt^2+3k)a·b+t(t^2-3)(|b|^2)=0,
∴-4k+t^3-3t=0,
∴4k=t^3-3t,
k=t(t^2-3)/4

（2）设t1<t2，则f(t1)-f(t2)=t1(t1^2-3)/4-t2(t2^2-3)/4=[(t1^3-t2^3)-3(t1-t2)]/4
=[(t1-t2)(t1^2+t1t2+t2^2)-3(t1-t2)]/4
=[(t1-t2)(t1^2+t1t2+t2^2-3)]/4

①当t1<t2≤-1时，t1t2>1，t1^2>1，t2^2≥1，则t1^2+t2^2+ t1t2-3>0，而t1-t2<0

∴f(t1)-f(t2)<0，即为k=f(t)的单调增区间。同理，[1,+无穷)也为增区间。

②当-1< t1<t2<1时，t1^2<1，t2^2<1，t1t2<1，则t1^2+t2^2+ t1t2-3<0，而t1-t2<0

∴f(t1)-f(t2)>0，即为k=f(t)的单调减区间。

故：函数k=f(t)的增区间为(-无穷,-1]∪[1,+无穷)，减区间为(-1,1)。

(3)
4k=t^3-3t,
∴(k+t^2)/t=(t^2+t-3)/4=[(t+1/2)^2]/4-13/16
≥-13/16.
最小值-13/16.

Answer 2

解：
(1)因为a、b互相垂直，故ab＝0，
又x、y互相垂直，故xy＝0，即(a＋(t－3)b)(－ka＋tb)＝0
－ka^2－k(t－3)ab＋tab＋t(t－3)b^2＝0
∵|a|＝2，|b|＝1，ab＝0，a^2=4,b^2=1
∴－4k＋t^2－3t＝0
即k＝f(t)＝(t^2-3t)/4

(2)由(1)知,k＝1/4(t-3/2)^2－9/16
∴当t＝3/2时，函数的最小值为－9/16.
曲线为开口向上对称轴为t=3/2的u形线，（负无穷，3/2）为减区间，[3/2，正无穷）为增区间

Answer 3

(1)x*y=[a+(t-3)b]*(-ka+tb)=0 两向量垂直，相乘为零
展开为-ka2+tab-tbka+t2b2+3bka-3tb2=0
得出k=(t2-3t)*b2/a2
k=(t2-3t)*1/4
这个是抛物线 区间是

令k=0则
1/4(t2-3t)=0
t=0或t=3 所以 抛物线顶点横坐标是（3+0）/2=1/2
[负无穷,1/2]单调递增 [1/2,正无穷]单调递减

Answer 4

解：
(1)向量x * y=-k*a^2 +t(t-3)*b^2+[t-k（t-3)]a*b=0
（上式中a*b 为向量点乘，写成上面带箭头的）
由题意得a*b=0
即有：-4k+t(t-3)=0
故k=f(t)=1/4 t(t-3)

(2)由（1）中函数关系式知 k,t不同时为0
当t>1.5时为其增区间
当t<1.5时为其减区间 t=/ 0 否则k=0 不符合题意
（上 “=/ ” 为“不等于”）

Answer 5

题目不全