Question

设A为n阶矩阵,且A²=I.求证:r(A+I)+r(A-I)=n

Answer 1

证法一：

令U={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集，则dim(U)=n-rank(A-I)；
令V={x∈R^n|Ax=-x}={x∈R^n|(A+I)x=0}为(A+I)的解集，则dim(V)=n-rank(A+I)。
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A-I)+rank(A+I)]。

声明：R^n=U⊕V。
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=x且Ax=-x，所以x=-x，得x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n，定义x1=(x+Ax)/2,x1=(x-Ax)/2，则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=x易知Ax1=x1,Ax2=-x2，所以x1∈U,x2∈V。

所以dim(U)+dim(V)=n。代入上式得rank(A-I)+rank(A+I)=n。

证法二：

由A^2=I，A有化零多项式f(x)=x^2-1。A的最小多项式p(x)必整除f(x)，且f(x)无重根，所以p(x)无重根，所以A可对角化。A的特征值都是p(x)的根，所以都是f(x)的根，只能是1或-1。所以A相似于对角元全为1或-1的对角阵D。
A+I相似于D+I，所以rank(A+I)等于rank(D+I)，等于D中1的个数；
A-I相似于D-I，所以rank(A-I)等于rank(A-I)，等于D中-1的个数。
所以rank(A+I)+rank(A-I)等于D的阶，即n。