Question

对于抛物线y^2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|大于等于a,求实数a的取值范围

Answer 1

解：
在抛物线上任取点Q（x，y）
则 y = ±2√x
由于抛物线关于x轴对称，所以取 y = 2√x或y = -2√x计算是一样的
暂取 y = 2√x进行计算
根据题目要求：
|PQ|=√[(x-a)^2+(2√x)^2]
=√(x^2-2ax+a^2+4x) （1）
因为要求：|PQ|≥|a|
所以有：√(x^2-2ax+a^2+4x)≥|a|
两边同时平方：
x^2-2ax+a^2+4x≥a^2
x^2-2ax+4x≥0 （2）
在抛物线中y^2=4x中，定义域为x>=0
当x=0为抛物线顶点，由（1）可知：|PQ|=a
当x>0时，（2）式两边同除以x，则化为：
x-2a+4>=0
2a-4<=x
上式要求对任意x均成立
所以：2a-4<=0 （x>0，最小值无限接近零，由于任意x都需要满足，所以取x=0）
所以：2a<=4
所以：a<=2