Question

如图， 已知抛物线Y=ax²+bx+c与X轴交于点A（-1，0）B（3，0），与Y轴交于点C（0，

如图， 已知抛物线Y=ax²+bx+c与X轴交于点A（-1，0）B（3，0），与Y轴交于点C（0，-3）

Answer 1

(1) ∵抛物线经过A(-1,0)B(3,0)
∴y=ax²+bx+c
=a(x+1)(x-3)【即设为交点式】
把C(0,-3)代入
解得a=1
∴y=（x+1)(x-3)
=x²-2x-3
∴y=x²-2x-3
(2)对称轴为直线x=-2a/b=1
由题意可知MA+MC最短即MA,MC在同一直线上【两点之间线段最短】
∴作点A关于直线x=1的对称点即点B，连接BC交对称轴于点M，此时MA+MC=MB+MC=BC为最短
设yBC=kx+b
把B(3,0)C(0,-3)代入
解得yBC=x-3
∵M在对称轴上
∴把x=1代入yBC=x-3
得y=-2
∴M(1,-2)
(3)分类讨论
∵A(-1,0)C(0,-3)
∴OA=1,OC=3
由勾股定理得AC=根号10
①以A为顶点，即AC=AP=根号10
【可以A为圆心，AC为半径画圆交直线x=1有两个交点】
当点P在第一象限
设直线x=1交x轴于点H
在Rt△PAH中，OA=1,OH=1
∴AH=2
∵AP=根号10
∴由勾股定理得PH=根号6
∴P1(1,根号6）
当点P在第四象限
同理可得PH=根号6
∴P2(1,-根号6）
②以C为 顶点，即CA=CP=根号10

在Rt△COP中，OP=1,CP=根号10
由勾股定理得OC=3
∴P3(1,0)
③以P为顶点，即PA=PC
作AC中垂线l交直线x=2于点P，交AC于点G
求得yAC=-3x-3
∵yAC于直线l垂直，由相垂直两直线斜率k乘积为-1可得
设直线yl=1/3x+b
∵A(-1,0)C(0, -3)
由中点公式得G(-1/2,-3/2)
把点G(-1/2,-3/2)代入直线l
得yl=1/3x-4/3
把x=1代入
得y=-1
∴P4(1,-1)
综上所述P1(1,根号6）
P2(1,-根号6）
P3(1,0)
P4(1,-1)