Question

数学专业的进来，关于矩阵方程的问题

若矩阵方程AX=B无解，那么R(A)<R(A，B)？有这个结论吗？同济第五版线性代数相关的定理只有一个，是有解的情况，是这样写的：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A，B)。但是没写无解的情况，注意这是矩阵方程，X是未知数矩阵，不是非齐次线性方程组的列向量x！别回答错了！我想请问如果矩阵方程无解是什么情况，谢谢了，能证明一下吗？

Answer 1

矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是R（A）= R(A,B)

那么矩阵方程无解的充要条件是R(A)<R(A，B)

（R(A)<=R(A，B)这一条你应该知道）
我刚发现你是想理解无解的情况。那就给你解释一下
不妨假定A是类似上三角的形式，右边填了一列B如果A的列能够线性组合出B，则秩不变，同时方程有解
如果填了一列B，A的列不能够线性组合出B，那么秩+1，方程无解
不懂得话再问

追问

额，这个证明不给力，能不能严谨一点？有这个定理吗？

追答

具体哪一部分你不觉着需要再证明？

追问

就是无解的时候为啥是小于呀，

就是无解的时候为啥是小于呀，

追答

实际上，无解的时候R（A）= R(A,B)-1

你应该知道线性变换不影响矩阵的秩。
所以A的列可以线性组合成B时，B就可以全都变为0从而不增加秩
但不能线性组合成B时，秩就+1了

追问

为什么秩会加1哦？

追答

一个矩阵A的（列）秩是A的线性无关的纵列的最大值
这总懂了？

追问

哦哦，那这个定理是对的吗？我把它记下了直接解题没问题吧？!线代书上没写这个定理

追答

相当于常用的引理，如果是刚学一个星期左右应该不能直接用，期末考试用这个没问题的

追问

我发现一个漏洞，加一列不相关才是秩加1，但是B是矩阵多列，秩有可能不止多1

追答

B只有一列啊。。
B是常数项那一列啊。。。。

Answer 2

形象的说：假如系数矩阵是n×n的，那么他有唯一解；如果，系数矩阵是n×m的，而且，m>n，那么他有无穷解；如果系数矩阵是n×m的，而且，m<n的，但是，你还发现增广矩阵的秩>系数矩阵的秩，那么他无解；如果系数矩阵是n×m的，而且，m<n的，但是，你还发现增广矩阵的秩<=系数矩阵的秩，那么他有唯一解(出现这种情况说明那个人脑子有病)；n表示行，m表示列。你自己列一个几元一次方程组，比划比划！

追问

请问有这个定理么？

追答

这不是定理这是经验，你难道就不会这么总结总结吗！我用大白话给你把书本上教条主义的抽象派结论总结总结你就看不懂了吗？可见你有多懒！

Answer 3

数学的妙趣在于把未知问题转化为已知的问题。

Answer 4

阿萨德撒的发的