Question

数学专业 高等代数问题

设A和B是复数域C上m和n阶方阵，并且A和B没有公共的特征值。证：矩阵方程AX=XB只有唯一解X=0

Answer 1

把X按列拉成向量vec(X)，那么原方程等价于(I*A-B^T*I)vec(X)=0其中I*A和B^T*I都是Kronecker乘积。注意I*A-B^T*I的特征值恰好是所有的λ_i-μ_j，其中λ_i和μ_j分别是A和B的特征值，从而结论成立。也可以用上三角化来证明，比如P^{-1}AP=S和Q^{-1}BQ=T都是Jordan标准型，那么原方程等价于SY-YT=0，其中Y=PXQ^{-1}，然后可以逐列推出Y=0。

追问

(I*A-B^T*I)vec(X)=0，其中l，T，ver(x)都是什么？

Answer 2

设φ(λ)为A的特征多项式，∵A,B没有公共特征值
∴φ(B)可逆，∵AX=XB，∴φ(A)X=Xφ(B)
而φ(A)=0，∴X=φ(A)Xφ(B)^(-1)=0

追问

但是A是m阶，B是n阶。φ(B)有意义吗？

追答

不太懂你说的φ(B)有意义吗什么意思
这里φ(λ)是个多项式
比如记φ(λ)=λ^n+a1λ^(n-1)+...+a[n-1]λ+an
φ(B)=B^n+a1B^(n-1)+...+a[n-1]B+anI，这里I为n阶单位阵
这就是个n阶方阵，这和方阵阶数没有关系
B是多少阶方阵，φ(B)就是多少阶方阵
和A的阶数也没有关系。

Answer 3

christcha已经回答了必要性。下面来说一下充分性。设A和B有公共特征值，则A和B^T也有公共特征值，分别令 a，b是相应的一个特征向量，容易看出 X=ab^T是方程的非零解。