线性代数：请教，设A是n阶矩阵，满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n
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A^2=A
得到A(A-E)=0
由r(A)+r(B)-n<=r(AB)
所以
r(A)+r(A-E)-n<=r(A(A-E))=0
所以
r(A)+r(A-E)<=n
有由于
r(A)+r(B)>=r(A±B)
所以
r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]=r(E)=n
所以
n<=r(A)+r(A-E)<=n
所以
r(A)+r(A-E)=n
得到A(A-E)=0
由r(A)+r(B)-n<=r(AB)
所以
r(A)+r(A-E)-n<=r(A(A-E))=0
所以
r(A)+r(A-E)<=n
有由于
r(A)+r(B)>=r(A±B)
所以
r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]=r(E)=n
所以
n<=r(A)+r(A-E)<=n
所以
r(A)+r(A-E)=n
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对x≠0
当Ax=0时、(A-E)x=-x≠0、
当Ax=y≠0时、(A-E)y=(A^2-A)x=0
当Ax=0时、(A-E)x=-x≠0、
当Ax=y≠0时、(A-E)y=(A^2-A)x=0
追问
你好像回答的不是我的问题吧，
追答
对x≠0
当Ax=0时、(A-E)x=-x≠0、设r（A）=r
因此A-E的ker≤ker A=n-r
当Ax=y≠0时、(A-E)y=(A^2-A)x=0
因此A-E的ker≥imge A=n-r
故得证、
其中、ker A指A的核的维数、即使Ax=0的所有x的维数。
imge A指A的像的维数、即Ax=y的所有y的维数。
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