Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b，曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线为y=x。 （1）求a,

已知函数f（x）=x³+ax²+b，曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线为y=x。 （1）求a,b （2）求f（x）的单调区间，并说明它在各区间的单调性

Answer 1

解：
（1）对f（x）=ax³-3x²/2+b求导就得
f'(x)=3ax²-3x
再有曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，即斜率为k=6
也就是
导函数f'(2)=6,即
f'(2)=3a×2²-3×2=6
解得a=1
于是f（x）=x³-3x²/2+b ①
再把x=2代进直线y=6x-8解得y=4
也就是点（2,4）在f(x)上
于是f(2)=2³-3×2²/2+b =4
解得b=2
于是 f（x）=x³-3x²/2+2

（2） b=2
则f（x）=ax³-3x²/2+2
f'(x)=3ax²-3x=3x(ax-1)
令f'(x)<0
解得0<x<1/a
也就是f(x)在区间0<x<1/a上是递减函数
也就是在【-1，0）上递增，（0,1/a)上递减，

下面讨论1/a的情况
①当1/a≤1
于是最小值可以是f(-1）或f(1/a)
有f(-1)=1/2-a,f(1/a)=2-1/(2a²）
显然f(-1)<f(1/a)
于是最小值是f(-1)=1/2-a
②当1/a>1
于是最小值可以是f(-1）或f(1)
其中f(-1)=1/2-a,f(1)=1/2+a
显然
f(-1)<f(1)
于是最小值是f(-1)=1/2-a
这样可以么？

Answer 2

1)f'(x)=3x²+2ax
f'(1)=3+2a
f(1)=a+b+1
在x=1处的切线为y=(3+2a)(x-1)+a+b+1=(3+2a)x-a+b-2
对比y=x得; 3+2a=1, -a+b-2=0
解得a=-1, b=1

2)f'(x)=3x²-2x=x(3x-2),得极值点x=0,2/3
单调增区间：x>2/3,或x<0
单调减区间：0<x<2/3