Question

已知直线l与函数f(x)=lnx的图像切于点(1，0)，且l与函数g(x)=1/2x的平方＋mx＋7/2(m<0)的图像也相切。求

RT

Answer 1

1.f'(x)=1/x f'(1)=1 直线方程为y=x-1 由相切知道：g'（x）=x+m=1 带回直线方程： 切点为x=1-m,y=-m 带入g(x):m=4或-2 又m<0,m=-2 2.h(x)=f(x+1)-g'(x) 定义域：x>-1 =ln(x+1)-x+2 h'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1) 令h'(x)>=0, 得单调增区间为(-1,0] 同理单调减区间[0,无穷大） h(x)的最大值为h(0)=2 3.f(1+a)-f(2)<(a-1)/2 即证ln(1+a)-a/2<ln2-1/2 构建函数u(x)=ln(1+x)-x/2 u'(x)=1/(1+x)-1/2 =(1-x)/2(1+x) 当0<x<1时,u'(x)>0 u(x)单调递增，u(x)<u(1)=ln2-1/2 于是ln(1+a)-a/2<ln2-1/2得证 也即f(1+a)-f(2)<(a-1)/2