Question

已知函数 f(x)=x- 2 x +1-alnx ，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[

已知函数 f(x)=x- 2 x +1-alnx ，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e 2 ]上值域．

Answer 1

（1）求导函数，可得 f′(x)=1+ 2 x 2 - a x 令 t= 1 x 得f′（x）=2t 2 -at+1（t≠0） 当△=a 2 -8≤0，即 0＜a≤2 2 时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函数； 当△=a 2 -8＞0，即 a＞2 2 时， 由2t 2 -at+1＞0得 t＜ a- a 2 -8 4 或 t＞ a+ a 2 -8 4 ∴x＜0或 x＞ a+ a 2 -8 4 或 0＜x＜ a- a 2 -8 4 又由2t 2 -at+1＜0得 a- a 2 -8 4 ＜t＜ a+ a 2 -8 4 ，∴ a- a 2 -8 4 ＜x＜ a+ a 2 -8 4 综上 当 0＜a≤2 2 f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当 a＞2 2 f（x）在 (0， a- a 2 -8 2 ) 及 ( a+ a 2 -8 2 ，+∞) 上都是增函数，在 ( a- a 2 -8 2 ， a+ a 2 -8 2 ) 是减函数． （2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e 2 ]上是增函数． 又 f(1)=0，f(2)=2-3ln2＜0，f( e 2 )= e 2 - 2 e 2 -5＞0 ∴函数f（x）在区间[1，e 2 ]上的值域为 [2-3ln2，  e 2 - 2 e 2 -5] ．