Question

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ，S 4 =2S 2 +4， b n = 1+ a n a n

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ，S 4 =2S 2 +4， b n = 1+ a n a n ．（1）求公差d的值；（2）若 a 1 =- 5 2 ，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N * ，都有b n ≤b 8 成立，求a 1 的取值范围．

Answer 1

（1）∵S 4 =2S 2 +4，∴ 4 a 1 + 3×4 2 d=2(2 a 1 +d)+4 ，解得d=1， （2）∵ a 1 =- 5 2 ，∴数列a n 的通项公式为 a n = a 1 +(n-1)=n- 7 2 ，∴ b n =1+ 1 a n =1+ 1 n- 7 2 ， ∵函数 f(x)=1+ 1 x- 7 2 在 (-∞， 7 2 ) 和 ( 7 2 ，+∞) 上分别是单调减函数， ∴b 3 ＜b 2 ＜b 1 ＜1，当n≥4时，1＜b n ≤b 4 ，∴数列{b n }中的最大项是b 4 =3，最小项是b 3 =-1． （3）由 b n =1+ 1 a n  得  b n =1+ 1 n+ a 1 -1 ， 又函数 f(x)=1+ 1 x+ a 1 -1 在（-∞，1-a 1 ）和（1-a 1 ，+∞）上分别是单调减函数， 且x＜1-a 1 时，y＜1；x＞1-a 1 时，y＞1． ∵对任意的n∈N * ，都有b n ≤b 8 ，∴7＜1-a 1 ＜8，∴-7＜a 1 ＜-6，∴a 1 的取值范围是（-7，-6）．