Question

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ．等比数列{b n }的前n项和为T n ，且S 4 =2S 2 +4，

已知{a n }是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n ．等比数列{b n }的前n项和为T n ，且S 4 =2S 2 +4， b 2 = 1 9 ， T 2 = 4 9 ．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若对任意的n∈N * ，都有S n ≥S 8 成立，求a 1 的取值范围；（Ⅲ）若 a 1 = 1 2 ，判别方程S n +T n =55是否有解？并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵S 4 =2S 2 +4， ∴4a 1 + 3×4 2 d=2（2a 1 +d）+4，解得d=1．…3 （Ⅱ）∵等差数列{a n }的公差d=1＞0，S n 要取得最小值S 8 ，必须有 a 8 ≤0 a 9 ≥0 ，即 a 1 +7d≤0 a 1 +8d≥0 ． 求得-8≤a 1 ≤-7， ∴a 1 的取值范围是[-8，-7]．…4 （Ⅲ）由于等比数列{b n }满足 b 2 = 1 9 ， T 2 = 4 9 ，即 b 1 q= 1 9 b 1 + b 1 q= 4 9 ，解得b 1 = 1 3 ，q= 1 3 ， ∴ T n = 1 3 [1- ( 1 3 ) n ] 1- 1 3 = 1 2 [1-( 1 3 ) n ] ，又S n =na 1 + 1 2 n（n-1）d= 1 2 n 2 ，…2 则方程S n +T n =55转化为：n 2 +[1- ( 1 3 ) n ]=110． 令：f（n）=n 2 +1- ( 1 3 ) n ，知f（n）单调递增， 当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1- ( 1 3 ) n ]＜100+1=101， 当n≥11时，f（n）≥11 2 +[1- ( 1 3 ) 11 ]＞11 2 =121，所以方程S n +T n =55无解．…3