Question

已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =70，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（1）求

已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的前n项和为S n ，若S 5 =70，且a 2 ，a 7 ，a 22 成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列 { 1 S n } 的前n项和为T n ，求证： 1 6 ≤ T n ＜ 3 8 ．

Answer 1

（1）∵数列{a n }是等差数列， ∴a n =a 1 +（n-1）d，S n =na 1 + n(n-1) 2 d ．…（1分） 依题意，有 S 5 =70 a 7 2 = a 2 a 22 即 5 a 1 +10d=70 ( a 1 +6d ) 2 =( a 1 +d)( a 1 +21d). …（3分） 解得a 1 =6，d=4．…（5分） ∴数列{a n }的通项公式为a n =4n+2（n∈N * ）．…（6分） （2）证明：由（1）可得S n =2n 2 +4n．…（7分） ∴ 1 S n = 1 2 n 2 +4n = 1 2n(n+2) = 1 4 （ 1 n - 1 n+2 ）．…（8分） ∴T n = 1 S 1 + 1 S 2 + 1 S 3 +…+ 1 S n-1 + 1 S n = 1 4 [（1- 1 3 ）+（ 1 2 - 1 4 ）+（ 1 3 - 1 5 ）+…+（ 1 n-1 - 1 n+1 ）+（ 1 n - 1 n+2 ）]…（9分） = 1 4 （1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 ） = 3 8 - 1 4 （ 1 n+1 + 1 n+2 ）．…（10分） ∵T n - 3 8 =- 1 4 （ 1 n+1 + 1 n+2 ）＜0， ∴T n ＜ 3 8 ．…（11分） ∵T n+1 -T n = 1 4 （ 1 n+1 - 1 n+3 ）＞0，所以数列{T n }是递增数列．…（12分） ∴T n ≥T 1 = 1 6 ．…（13分） ∴ 1 6 ≤T n ＜ 3 8 ．…（14分）