Question

已知等差数列{a n }的公差为d，前n项和为S n ，等比数列{b n }的前n项和为T n ，且{a n }、{b n }满足条

已知等差数列{a n }的公差为d，前n项和为S n ，等比数列{b n }的前n项和为T n ，且{a n }、{b n }满足条件：S 4 =4a 3 -2，T n =2b n -2．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若对任意的n∈N * ，都有S n ≥S 5 成立，求a 1 的取直范围；（Ⅲ）若a 1 =-4，令c n =a n b n ，求数列{c n }的前n项和V n ．

Answer 1

（I）设等比数列{b n }的公比为q，由S 4 =4a 3 -2，得 4 a 1 + 4×3 2 ×d=4( a 1 +2d)-2 ，化为6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1． （II）由S n ≥S 5 成立，得到 n a 1 + n(n-1) 2 ×1≥5 a 1 + 5×4 2 ×1 ，化为（n-5）（2a 1 +n+4）≥0． 由于对任意的n∈N * ，都有S n ≥S 5 成立，∴ n≥5 2 a 1 +n+4≥0 且 1≤n＜5 2 a 1 +n+4≤0 解得 - 9 2 ≤ a 1 ≤-4 ． ∴ a 1 ∈[- 9 2 ，-4] ． （III）①当a 1 =-4时，a n =-4+（n-1）×1=n-5； ②当n=1时，b 1 =T 1 =2b 1 -2，解得b 1 =2； 当n≥2时，b n =T n -T n-1 =2b n -2-（2b n-1 -2）=2b n -2b n-1 ，化为b n =2b n-1 ． ∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ b n =2× 2 n-1 = 2 n ． ∴ c n =(n-5)? 2 n ． ∴ V n =-4× 2 1 -3× 2 2 -2× 2 3 - 2 4 +0+2 6 +2×2 7 +…+（n-5）?2 n ， 2 V n =-4× 2 2 -3× 2 3 -2× 2 4 -2 5 +2 7 +2 8 +…+（n-6）?2 n +（n-5）?2 n+1 ． 两式相减得-V n =-8+2 2 +2 3 +…+2 n +（5-n）?2 n+1 = -10+ 2×( 2 n -1) 2-1 +(5-n)? 2 n+1 ， 化为 V n =12+(n-6)? 2 n+1 ．