如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂
如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=2时，求线段OD的长...
如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=2时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的范围．
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（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝
BC=
×2=1．
∵∠BDO=90°，OB=3，BD=1，
∴OD＝
＝2
，
即线段OD的长为2
．
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=3，
∴AB＝
＝3
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=
AB＝
，
∴DE保持不变．
（3）过D作DF⊥OE于F，连接OC，如图（3）．
∵∠BDO=90°，BD=x，OB=3，
∴OD=
，
∵OB=OC=OA，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=
∠AOB=45°，即∠DOE=45°．
在Rt△DFO中，
∵∠DOF=45°，OD=
，
∴DF=OD?sin45°=
，
OF=OD?cos45°=
，
在Rt△DEF中，
∵DE=
，DF=
，
∴EF=
=
x，
∴OE=OF+EF=
+
x，
∴y=
DF?OE=
(
)(
∵OD⊥BC，
∴BD＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵∠BDO=90°，OB=3，BD=1，
∴OD＝
| OB2?BD2 |
| 2 |
即线段OD的长为2
| 2 |
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=3，
∴AB＝
| OB2+OA2 |
| 2 |
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
∴DE保持不变．
（3）过D作DF⊥OE于F，连接OC，如图（3）．
∵∠BDO=90°，BD=x，OB=3，
∴OD=
| 9?x2 |
∵OB=OC=OA，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=
| 1 |
| 2 |
在Rt△DFO中，
∵∠DOF=45°，OD=
| 9?x2 |
∴DF=OD?sin45°=
| ||
| 2 |
OF=OD?cos45°=
| ||
| 2 |
在Rt△DEF中，
∵DE=
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴EF=
| DE2?DF2 |
| ||
| 2 |
∴OE=OF+EF=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
