Question

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，且∠DAC=∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 的

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，且∠DAC=∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线． （2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长． （1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵BD=5，CD=4， ∴BC=9， ∵△ADC∽△BAC（已证）， ∴ ，即AC 2 =BC×CD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD= ， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA-CD=2， 在Rt△AFD中，AF= ．