Question

把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴

把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G，O是AC中点，AC=8．（1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标；（2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．

Answer 1

（1）∵OG∥BC，AC=8，
∴∠B=∠AGO=45°，
∴OA=OG=4．
∵S_△AFH=8，S_△AGH=10，
∴GH=5，FH=4．
∴OH=1，OF=5，
∴F（-5，0），H（-1，0），B（8，-4）．

（2）不变，∠N+∠M=97.5°．
理由如下
设∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°，
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α．
∵HM平分∠AHF，
∴∠FHM=

1

2

∠FHA=45°+

1

2

α．
∵GM平分∠AGH，
∴∠HGM=

1

2

∠AGO=22.5°．
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，
∴45°+

1

2

α=∠M+22.5°，
∴∠M=22.5°+

1

2

α．
又FN平分∠EFO，
∴∠NFO=

1

2

∠EFO=

1

2

（∠FOA+∠FAO）
=

1

2

（90°+30°+α）=60°+

1

2

α，
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-（60°+

1

2

α）-45°
=75°-

1

2

α．
∴∠N+∠M=（75°-

1

2

α）+（22.5°+

1

2

α）=97.5°．