已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△ABC沿CE所在的直线折叠得△AEC，BF∥AC，交直线A′C于F．（1）若∠AC
已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△ABC沿CE所在的直线折叠得△AEC，BF∥AC，交直线A′C于F．（1）若∠ACB=90°，∠A=30°，求证：AC=CF+BF...
已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△ABC沿CE所在的直线折叠得△AEC，BF∥AC，交直线A′C于F．（1）若∠ACB=90°，∠A=30°，求证：AC=CF+BF．（2）若∠ACB为任意角，在图（2）图（3）的情况下分别写出AC、CF、BF之间关系，并证明图（3）结论．（3）如图（4），若∠ACB=120°，BF=6，BC=4，则AC的长为______．
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（1）证明：∵∠ACB=90°，点E为边AB的中点，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=30°，
由翻折的性质得，∠A′CE=∠ACE，
∴∠BCF=90°-30°×2=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴CF=2BF，BC=BF÷tan30°=BF÷
=
BF，
又∵AC=BC÷tan30°=
BF÷
=3BF，
∴AC=CF+BF；
（2）解：如图（2），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠ABF，
∵∠FA′B=∠EA′B-∠CA′E，
∠FBA′=∠EBA′-∠ABF，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF+A′F，
∴AC=CF+BF；
如图（3），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；
（3）解：如图（4），连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，
∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF?cos60°=6×
=3，FG=BF?sin60°=6×
=3
，
∴CG=BC-BG=4-3=1，
在Rt△CGF中，CF=
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=30°，
由翻折的性质得，∠A′CE=∠ACE，
∴∠BCF=90°-30°×2=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴CF=2BF，BC=BF÷tan30°=BF÷
| ||
| 3 |
| 3 |
又∵AC=BC÷tan30°=
| 3 |
| ||
| 3 |
∴AC=CF+BF；
（2）解：如图（2），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠ABF，
∵∠FA′B=∠EA′B-∠CA′E，
∠FBA′=∠EBA′-∠ABF，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF+A′F，
∴AC=CF+BF；
如图（3），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；
（3）解：如图（4），连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，
∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF?cos60°=6×
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∴CG=BC-BG=4-3=1，
在Rt△CGF中，CF=
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