Question

如图△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+A

如图△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度．

Answer 1

解：如图，连接PA，PB，PC，
设BD=x，CE=y，AF=z，
则DC=17-x，EA=18-y，FB=19-z，
在Rt△PBD和Rt△PFB中，
有x²+PD²=（19-z）²+PF²
同理有：

y2+PE2＝(17?x)2+PD2 z2+PF2＝(18?y)2+PE2

将以上三式相加，
得x²+y²+z²=（17-x）²+（18-y）²+（19-z）²
即17x+18y+19z=487
又因为x+y+z=27，
所以x=z-1，
所以BD+BF=x+（19-z）=z-1+19-z=18．