Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=12ac．（Ⅰ）求sin2A+C2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=12ac．（Ⅰ）求sin2A+C2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a²+c²-b²=2accosB，
由题意知a²+c²-b²=

1

2

ac，
∴cosB=

1

4

，
又在△ABC中，A+B+C=π，∴sin

A+C

2

=cos

B

2

，
则原式=cos²

B

2

+cos2B=

1+cosB

2

+2cos²B-1=2cos²B+

1

2

cosB-

1

2

=

1

8

+

1

8

-

1

2

=-

1

4

；
（Ⅱ）∵b=2，sinB=

15

4

，
∴由a²+c²-b²=

1

2

ac得：a²+c²-4=

1

2

ac，即a²+c²=

1

2

ac+4≥2ac，
整理得：ac≤

8

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

4

3

sinB=

15

3

，
则△ABC面积的最大值为

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