Question

相似三角形.

已知：AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B,D.AD和BC相交于点E,EF垂直BD，垂足为F,我们可以证明1/AB+1/CD+1/EF成立（不要求考生证明）。若将垂线改为斜交，如图所示，AB‖CD，AD,BC相交于点E,过点E作EF‖AB，交BD于点F,则：
①1/AB+1/CD+1/EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②请找出S△ABD,S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明。
注：第一小题我会，主要是第二小题！！！

Answer 1

解：①
当AB，CD,EF分别垂直BD时，
∴AB‖EF‖CD
∴△DAB∽△DEF,△BCD∽△BEF
∴EF/AB=DF/BD，EF/CD=BF/BD
∵DF/BD+BF/BD=1
∴EF/AB+EF/CD=1
∴1/AB+1/CD=1/EF

垂直改为斜交也成立，只要满足AB‖EF‖CD
证明过程和上面的过程完全一样，所以1/AB+1/CD=1/EF成立

②
分别过A,E,C做BD的垂线,交BD于A',E',C'
根据最上面的证明同样可得：
1/AA'+1/CC'=1/EE'..................Ⅰ
∵S△ABD=(1/2)BD×AA'，S△BCD=(1/2)(BD×CC'),S△BED=(1/2)(BD×EE')
∴S△BED/S△ABD=EE'/AA'
S△BED/S△BCD=EE'/CC'
∴S△BED/S△ABD+S△BED/S△BCD
=EE'/AA'+EE'/CC'
=EE'(1/AA'+1/CC')
=EE'/EE'.........................根据Ⅰ式带入可得
=1
∴ 1/S△ABD+1/S△BCD=1/S△BED
即是S△ABD,S△BED和S△BDC间的关系式

Answer 2

（2002•黄冈）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明1AB+1CD=1EF成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）1AB+1CD=1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
考点：平行线分线段成比例．
专题：综合题．
分析：（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．
解答：（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴EFAB=DFDB
∵CD∥EF
∴EFCD=BFDB
∴EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=DBDB=1
∴1AB+1CD=1EF；
（2）关系式为：1S△ABD+1S△BDC=1S△BED
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：1AM+1CK=1EN
∴2BD•AM+2BD•CK=2BD•EN
即112•BD•AM+112•BD•CK
又∵12•BD•AM=S△ABD，12•BD•CK=S△BCD
∴12•BD•EN=S△BED
∴1S△ABD+1S△BDC=1S△BED．
点评：此题考查平行线分线段成比例定理的运用．