正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为81π481π4
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为81π481π4．...
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为81π481π4．
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解答：
解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF?PE，因为AE＝
＝
＝
，
所以侧棱长PA＝
＝
＝
＝3
，PF=2R，
所以18=2R×4，所以R=
，
所以S=4πR2=
故答案为：
解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF?PE，因为AE＝
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
所以侧棱长PA＝
| PE2+AE2 |
| 42+2 |
| 18 |
| 2 |
所以18=2R×4，所以R=
| 9 |
| 4 |
所以S=4πR2=
| 81π |
| 4 |
故答案为：
| 81π |
| 4 |
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