Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）当直线AE处于

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE，请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）、（2），请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系．

Answer 1

（1）证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中
∵

∠ADB＝∠CEA＝90° ∠ABD＝∠EAC AB＝AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；

（2）BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：
证明：在△ABD和△CAE中
∵

∠ADB＝∠CEA＝90° ∠BAD＝∠EAC AB＝AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE；

（3）当点B、C在直线AE异侧时，DE=|BD-EC|；

当点B、C在直线AE同侧时，DE=BD+CE．