Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；

（2）图2：BE=EF．…（1分）
图3：BE=EF．…（1分）
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF； …（1分）
图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF． …（1分）

Answer 2

证明：（1）∵四边形abcd为菱形，
∴ab=bc，
又∵∠abc=60°，
∴△abc是等边三角形，
∵e是线段ac的中点，
∴∠cbe=∠abc=30°，ae=ce，
∵ae=cf，
∴ce=cf，
∴∠f=∠cef，
∵∠f+∠cef=∠acb=60°，
∴∠f=30°，
∴∠cbe=∠f，
∴be=ef；
（2）图2：be=ef．图3：be=ef．
图2证明如下：
过点e作eg∥bc，交ab于点g，
∵四边形abcd为菱形，
∴ab=bc，
又∵∠abc=60°，
∴△abc是等边三角形，
∴ab=ac，∠acb=60°，
又∵eg∥bc，
∴∠age=∠abc=60°，
又∵∠bac=60°，
∴△age是等边三角形，
∴ag=ae，
∴bg=ce，
又∵cf=ae，
∴ge=cf，
又∵∠bge=∠ecf=120°，
∴△bge≌△ecf（sas），
∴be=ef；
图3证明如下：
过点e作eg∥bc交ab延长线于点g，
∵四边形abcd为菱形，
∴ab=bc，
又∵∠abc=60°，
∴△abc是等边三角形，
∴ab=ac，∠acb=60°，
又∵eg∥bc，
∴∠age=∠abc=60°，
又∵∠bac=60°，
∴△age是等边三角形，
∴ag=ae，
∴bg=ce，
又∵cf=ae，
∴ge=cf，
又∵∠bge=∠ecf=60°，
∴△bge≌△ecf（sas），
∴be=ef．