Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（-1）=0且x≤f(x)≤x2+12对一切实数x恒成立，求f（x）的解析

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（-1）=0且x≤f(x)≤x2+12对一切实数x恒成立，求f（x）的解析式．

Answer 1

当x=

x2+1

2

，即x=1时，1≤f（1）≤1，
则f（1）=1；
联立f（-1）=0，有：

a+b+c＝1 a?b+c＝0

，
解得：a+c=b=

1

2

；
∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 △＝(b?1)2?4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立；
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．