Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn（n=1，2，3…），给出下列四个命题：①数列{an}是等比数列；

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn（n=1，2，3…），给出下列四个命题：①数列{an}是等比数列；②数列{Sn}是等比数列；③?常数c＞0，使ni＝11ai≤c（n∈N+）恒成立；④若Sn（3an-2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，则γ∈（+∞，103）．以上命题中正确的命题是______（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

①∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a_n+2=2S_n+1，
两式相减得a_n+2-a_n+1=2S_n+1-2S_n=2a_n+1，
即a_n+2=3a_n+1，
即

an+2

an+1

＝3，（n≥2），
当n=1时，a₂=2a₁=2，

a2

a1

＝2≠3，
∴数列{a_n}不是等比数列；∴①错误．
②a_n+1=2S_n=S_n+1-S_n，
即3S_n=S_n+1，
∴

Sn+1

Sn

＝3，（n≥1），
即数列{S_n}是等比数列；∴②正确．
③由①知，当n≥2时，an＝a23n?2=2?3^n-2，a₁=1，
则

1

an

＝

1

2

?(

1

3

)n?2，n≥2，

1

a1

＝1，
则

n

i＝1

1

ai

=

1

a1

+

1 2 (1?( 1 3 )n?2)

1? 1 3

=1+

3

4

?

3

4

(

1

3

)n?2＜

7

4

，
∴当c≥

7

4

时，使

n

i＝1

1

ai

≤c(n∈N+)恒成立；∴③正确．
④由S_n（3a_n-2γ）+2≥0得3S_na_n-2γS_n+2≥0，
即γ≤

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