Question

已知二次函数y=ax2+bx+c．（1）若a=1，b=-3，且二次函数的图象经过点（-2，15），求c的值；（2）若a+c=1

已知二次函数y=ax2+bx+c．（1）若a=1，b=-3，且二次函数的图象经过点（-2，15），求c的值；（2）若a+c=1，b=2，且二次函数图象与y轴的交点在直线y=1与y=2之间，试说明这个二次函数图象的对称轴在直线x=1的右侧；（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（m，-a），与x轴交于A、B两点．请确定线段AB长的取值范围，并证明你的结论．

Answer 1

（1）当a=1，b=-3时，二次函数为y=x²-3x+c，
因为该函数的图象经过点（-2，15），
所以15=（-2）²-3×（-2）+c，
解得c=5；

（2）∵由题意1＜c＜2，
∴0＜c-1＜1，
∴

1

c?1

＞1，
由二次函数知其对称轴x＝ ?

b

2a

，
由b=2，a=1-c，则x＝

1

c?1

，
∴二次函数知其对称轴大于1；

（3）因为二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（m，-a），
所以am²+bm+c+a=0，
所以q为方程am²+bm+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，
所以3a-c＞0，
所以b≥0．
设x₁=

?b+ b2?4ac

2a

，x₂=

?b? b2?4ac

2a

，
则AB之间的距离=

2 b2?4ac

2a

=

b2?4ac

a

=

a?c

a

=1-

c

a

＞1．
即线段AB的长＞1．