Question

点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为 2 3

点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为 2 3 ，则这个球的表面积为（　　） A． 125 6 π B．8π C． 25 4 π D． 25 16 π

Answer 1

根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q， 若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S △ABC 不变，高最大时体积最大， 所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为 1 3 × S △ABC ×DQ= 2 3 ， 即 1 3 ×1×DQ= 2 3 ，∴DQ=2，如图． 设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中， OA 2 =AQ 2 +OQ 2 ，即R 2 =1 2 +（2-R） 2 ，∴R= 5 4 则这个球的表面积为：S=4π（ 5 4 ） 2 = 25 4 π ； 故选C．