Question

已知：直线l的参数方程为 ： x=2+t y= 3 t （t为参数），

已知：直线l的参数方程为 ： x=2+t y= 3 t （t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ 2 cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

（1）由曲线C：ρ 2 cos2θ=ρ 2 （cos 2 θ-sin 2 θ）=1， 得ρ 2 cos 2 θ-ρ 2 sin 2 θ=1，化成普通方程x 2 -y 2 =1．①（5分） （2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程 x=2+ 1 2 t y= 3 2 t (t为参数) ，② 把②代入① 得：(2+ 1 2 t ) 2 -( 3 2 t ) 2 =1 ，整理，得t 2 -4t-6=0， 设其两根为t 1 ，t 2 ，则t 1 +t 2 =4，t 1 ?t 2 =-6，．（8分） 从而弦长为 | t 1 - t 2 |= ( t 1 + t 2 ) 2 -4 t 1 t 2 = 4 2 -4(-6) = 40 =2 10 ．．（10分） （方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为 y= 3 (x-2) ，代入x 2 -y 2 =1，得2x 2 -12x+13=0，．（6分） 设l与C交于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =6， x 1 ? x 2 = 13 2 ，．（8分） ∴ |AB|= 1+3 ? ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =2 6 2 -26 =2 10 ．．（10分）