Question

已知平行四边形ABCD，AC、BD为对角线，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）

已知平行四边形ABCD，AC、BD为对角线，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．

Answer 1

证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，

∠AEB＝∠DFC ∠ABE＝∠DCF AB＝DC

，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴AC²+BD²=2（AB²+BC²）．