Question

已知点M是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，

已知点M是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为433（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．

Answer 1

（I）在△F₁MF₂中，由

1

2

|MF₁||MF₂|sin60°=

4 3

3

，得|MF₁||MF₂|=

16

3

．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁||MF₂|（1+cos60°）
又∵|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a
故16=4a²-16，
解得a²=8，故b²=a²-c²=4
故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

＝1
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）
由

x2 8 + y2 4 ＝1 y+2＝k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=?

4k(k?2)

1+2k2

，x₁x₂=

2k2?8k

1+2k2

，
从而k₁+k₂=

y1?2

x1

+

y2?2

x2

=

hbc3193034 2018-05-31 · TA获得超过10.5万个赞 知道大有可为答主 回答量：10.5万 采纳率：76% 帮助的人：1.4亿 我也去答题访问个人页 关注 已知点M是椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为4√3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值(改题了). 解“(1)c=2,设|MF1|=t,则|MF2|=2a-t,由余弦定理， 16=t^2+(2a-t)^2-t(2a-t)=4a^2-3t(2a-t), ∴t(2a-t)=4(a^2-4)/3, △F1MF2的面积=(1/2)t(2a-t)*√3/2=(a^2-4)/√3=4√3，a^2=16, b^2=a^2-c^2=12, ∴椭圆C的方程是x^2/16+y^2/12=1.① (II)l:y=m(x+1)-2,② 代入①*48， 3x^2+4[m^2x^2+2m(m-2)x+(m-2)^2]=48, (3+4m^2)x^2+8m(m-2)x+4(m-2)^2-48=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8m(m-2)/(3+4m^2),x1x2=[4(m-2)^2-48]/(3+4m^2), k1+k2=(y1-2)/x1+(y2-2)/x2=[m(x1+1)-4]/x1+[m(x2+1)-4]/x2 =2m+(m-4)(x1+x2)/(x1x2) =2m-2m(m-2)(m-4)/[(m-2)^2-12] =2m[(m-2)^2-12-(m-2)(m-4)]/(m^2-4m-8) =2m(2m-16)/(m^2-4m-8),不是定值。 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2015-02-09 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、... 1 2015-11-03 设F1和F2为椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0... 104 2015-02-09 若点P是椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上一点，... 2015-02-08 已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点F... 2015-02-05 设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0... 1 2018-02-03 已知F1,F2分别是椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>... 2015-02-09 已知F1，F2分别是椭圆C：y2a2+x2b2＝1(a＞b＞... 2014-09-03 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点... 2 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

已知点M是椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为4√3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值(改题了).
解“(1)c=2,设|MF1|=t,则|MF2|=2a-t,由余弦定理，
16=t^2+(2a-t)^2-t(2a-t)=4a^2-3t(2a-t),
∴t(2a-t)=4(a^2-4)/3,
△F1MF2的面积=(1/2)t(2a-t)*√3/2=(a^2-4)/√3=4√3，a^2=16,
b^2=a^2-c^2=12,
∴椭圆C的方程是x^2/16+y^2/12=1.①
(II)l:y=m(x+1)-2,②
代入①*48，
3x^2+4[m^2x^2+2m(m-2)x+(m-2)^2]=48,
(3+4m^2)x^2+8m(m-2)x+4(m-2)^2-48=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8m(m-2)/(3+4m^2),x1x2=[4(m-2)^2-48]/(3+4m^2),
k1+k2=(y1-2)/x1+(y2-2)/x2=[m(x1+1)-4]/x1+[m(x2+1)-4]/x2
=2m+(m-4)(x1+x2)/(x1x2)
=2m-2m(m-2)(m-4)/[(m-2)^2-12]
=2m[(m-2)^2-12-(m-2)(m-4)]/(m^2-4m-8)
=2m(2m-16)/(m^2-4m-8),不是定值。