Question

如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知AD＝AB（D

如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线 的对称轴为 ）

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Answer 1

（1） ；（2） ；（3）M

试题分析：（1）根据抛物线经过A（－3，0）、C（4，0）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)，再把B（0，4）代入即可求得结果； （2）找到变化过程中的不变关系：△CDQ∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求得结果； （3）因为A、C关于 对称，所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值，根据两点之间线段最段，A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值． （1）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)，解得 所以抛物线解析式为   （2）连接DQ， 在Rt△AOB中， 所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2 因为BD垂直平分PQ， 所以PD＝QD，PQ⊥BD， 所以∠PDB＝∠QDB 因为AD＝AB， 所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB， 所以DQ∥AB 所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB， 所以△CDQ∽△CAB 所以 即 所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5 ＝ ， 所以t的值是 ；                                         （3）对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为 所以A（－3，0），C（4，0）两点关于直线 对称 连接AQ交直线 于点M，则MQ＋MC的值最小 过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED＝∠BOA＝90 0 所以DQ∥AB， 所以∠ BAO＝∠QDE，  所以△DQE ∽△ABO 所以 ，即 所以QE＝ ，DE＝ ， 所以OE＝OD＋DE＝2＋ ＝ ，所以Q（ ， ） 设直线AQ的解析式为 则  由此得 所以直线AQ的解析式为   由 得 则在对称轴上存在点M ，使MQ＋MC的值最小． 点评：此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的思维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．