Question

已知a1=5，a2=6,an+2=5an+1-6an,求｛an｝的通项公式

Answer 1

解：

a(n+2)-2a(n+1)=3a(n+1)-6an=3[a(n+1)-2an]

[a(n+2)-2a(n+1)]/[a(n+1)-2an]=3，为定值

a1=5，a2=6

a2-2a1=6-2×5=-4

数列{a(n+1)-2an}是以-4为首项，3为公比的等比数列

a(n+1)-2an=(-4)·3ⁿ⁻¹=-4·3ⁿ⁻¹            ①

a(n+2)-3a(n+1)=2a(n+1)-6an=2[a(n+1)-3an]

[a(n+2)-3a(n+1)]/[a(n+1)-3an]=2，为定值

a1=5，a2=6

a2-3a1=6-3×5=-9

数列{a(n+1)-3an}是以-9为首项，2为公比的等比数列

a(n+1)-3an=(-9)·2ⁿ⁻¹=-9·2ⁿ⁻¹            ②

①-②，得：

an=9·2ⁿ⁻¹ -4·3ⁿ⁻¹

n=1时，a1=9·1-4·1=5；n=2时，a2=9·2-4·3=6，均满足表达式

数列{an}的通项公式为an=9·2ⁿ⁻¹ -4·3ⁿ⁻¹