Question

高中数学函数零点问题，如图所示，这道题应该怎么做？

Answer 1

(1)

f'(x)=(0-cosx)e^x+(1-sinx)e^x=(1-sinx-cosx)e^x=(1-√2*sin(x+π/4))e^x
当x∈(0,π/2)时，f'(x)<0，即f(x)单调递减
当x∈(π/2,π)时，f'(x)>0，即f(x)单调递增
当x=π/2时，f'(x)=0，即f(x)取得极小值f(π/2)=0
(2)
首先g(0)=f(0)-1=1-1=0
然后对于任意的x>0，若g(x)=0，即(1-sinx)e^x-sinx-1=0
此时g(-x)=(1+sinx)e^(-x)+sinx-1
等式两边等式乘以e^x得
g(-x)e^x=(sinx-1)e^x+1+sinx=-g(x)=0
又因为e^x>0
所以g(-x)=0
也就是说除开x=0外，g(x)的零点是关于原点对称的。
所以我们这里只需要讨论g(x)在(0,π)上的零点个数。
g'(x)=f'(x)-cosx=(1-√2*sin(x+π/4))e^x-cosx
当x∈(0,π/2)时，g'(x)<0，即g(x)单调递减
当x∈(π/2,π)时，g'(x)>0，即g(x)单调递增
当x=π/2时，g'(x)=0，即g(x)取得极小值g(π/2)=-2
又g(0)=0，g(π)=e^π -1>0
所以g(x)在(0,π)上只有一个零点x1，且x1∈(π/2,π)
根据之前的分析,g(x)在(-π,π)上有且仅有三个零点，分别为-x1,0,x1
显然这三个零点的和为0

Answer 2

f'(x)=(1－sinx－cosx)e^x
=(1－√2sin(x+π/4))e^x
故极小值f(π/2)=0，
开区间(0.π)排除极大值f(0)