Question

求问一道高数题

这个元素是怎么取的

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Answer 1

解：见下图：从微元来看见黄色区域，y=3-|x^2-1|, 为所求的面积绕y=3旋转一周的体积；也就是x轴从区域[-2,2] 绕y=3旋转一周的体积减去蓝色微元绕y=3旋转一周的体积，

蓝色区域：y1=3-(3-|x^2-1|)=|x^2-1|, 设旋转体的体积为V，

dV=π(3^2-y1^2)dx

V=π∫(-2,2)[3^2-(|x^2-1|)^2]dx=2π∫(0,2)[3^2-(|x^2-1|)^2]dx

=2π{∫(0,1)[3^2-(1-x^2)^2]dx+∫(1,2)[3^2-(x^2-1)^2]dx}

=2π[∫(0,2)(8+2x^2-x^4)dx

=2π{[8x+(2/3)x^3-x^5/5](0,2)

=2π(16+16/3-32/5)=2π(64*5-32*3)/15=7*64π/15=448π/15

Answer 2

求曲线y=3-∣x²-1∣与x轴所围成的封闭图形绕y=3旋转一周所得旋转体的体积。

解：当x≦1或x≧1时y=3-(x²-1)=-x²+4;

当-1≦x≦1时y=3+(x²-1)=x²+2；故其图形如下：