Question

求一道数学图形题

Answer 1

（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得A(0，0，0)，B(32，-12，0)，C(32，12，0)，E(34，14，22)
∴AB=(32，-12，0)，AE=(34，14，22)，AC=(32，12，0)（8分）
设n1=(x1，y1，z1)是平面ABE一个法向量
由n1•AB=x1•32 y1•(-12) z1•0=0n1•AE=x1•34 y1•14 z1•22=0 ，解得y1=3x1z1=-62x1，
所以取x1=1，y1=3，z1=-62，可得n1=(1，3，-62)，
因为PA⊥平面ABC，所以向量PA即为平面ABC的一个法向量，设PA=n2=(0，0，2)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=n1•n2|n1||n2|=-62×2 1 3 32•2=-0.3311
根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|=0.3311
∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为0.3311．