Question

求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所截曲面面积

Answer 1

对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D
dA=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；
柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy=∫∫D
√[1+1]
rdrdθ=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π

扩展资料：
以原点为顶点的锥面方程是关于

的齐次方程，反之，一个含

的齐次方程

的图形总是顶点位于原点的锥面。
事实上，设

是曲面

上的一点(但不是原点)。即

，则直线OP上的任意一点M的坐标为

一定也适合方程

，因为

这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面

上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。
一直母线沿着曲导线运动，且始终通过定点(导点)时，所得曲面称为锥面。与柱面相似，锥面是以垂直于轴线的正截面与锥面的交线形状来命名的。若交线的形状为圆，称为圆锥面；若为椭圆，称为椭圆锥面。
若椭圆锥面的轴线与锥底面倾斜时，称为斜椭圆锥面。斜椭圆锥面的正面投影是一个三角形，它与正圆锥面的正面投影的主要区别在于：此三角形不是等腰三角形，三角形内有两条点划线，其中一条与锥顶角平分线重合，是锥面轴线，另一条是圆心连线。
斜椭圆锥面的水平投影是一个反映底圆(导线)实形的圆以及与该圆相切的两转向轮廓线。斜椭圆锥面的侧面投影是一个等腰三角形。
对于锥面，有两种画法：
①在其反映轴线实长的视图中画若干条有疏密之分的直素线，在反映锥底圆弧实形的视图中则画若干条均匀的直素线；
②在锥面的各视图巾均画出若干条示坡线。注意锥面示坡线方向应指向锥顶。
参考资料：搜狗百科——锥面

Answer 2

方法一
对于z=f(x,y),曲面面积为
A=∫∫D
dA=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割
则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ
əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ
(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1
∴A=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D
√[1+1]
rdrdθ
=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ
=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π
方法二：详见下图