Question

过点p（2，1）作直线l交x轴，y轴的正半轴于A,B两点

Answer 1

解：(1)设直线l的方程为x/a
+y/b=1(截距式)
把点P(2,1)代入，得2/a
+1/b=1
解得2b+a=ab
2b+a大于等于2倍根号下2ab
所以ab大于等于2倍根号下2ab
解得ab大于等于8
△OAB面积=1/2ab
所以△OAB面积大于等于4
当且仅当2b=a，即a=4,b=2时，△OAB面积最小，为4
所以所求直线l的方程x/4
+y/2=1
即x+2y-4=0
2.设L:x/a+y/b=1(a、b>0),角BAO=t.则
|PA|=1/sint,|PB|=(b-1)/sint.
而sint=b/根(a^2+b^2),
所以|PA|*|PB|=(b-1)(a^2+b^2)/b^2=(b-1)[(a/b)^2+1].
又,P(2,1)在L上,
故2/a+1/b=1
--->a/b=a-2.
所以,
|PA|*|PB|=[a/(a-2)-1][(a-2)^2+1]
=2[(a-2)+1/(a-2)]
>=4根[(a-2)*1/(a-2)]
=4
当且仅当a-2=1/(a-2),
即a=b=3时等号成立.
所以,L为:x+y-3=0

Answer 2

1.做PM⊥OA，PN⊥OB
设角OAB=x，三角形的面积为y
则OM=2,ON=1,BN=2tanx，AM=1/tanx
所以y=（1+2tanx）（2+1/tanx）/2

=（4+4tanx+1/tanx）/2

≥（4+2*2）/2

=4
当且仅当tanx=1/2时取等号
此时，直线方程是y=（-1/2）x+2
2.由（1），PA=1/sinx，PB=2/cosx
PA*PB=2/（sinxcosx）=4/sin2x
当且仅当sin2x=1，x=45°时，PA*PB最小，此时L：y=-x+3