Question

二元函数重极限存在性问题，求解答？

问题是第一张图片里的重极限是否存在。这个问题之前我提问过一次，但没有得到我想要的答案
。有两位答主（L和A）回答了这个问题，首先感谢他们的回答，但是我觉得回答有些不妥，然后因为修改了两次，问题被封了，所以我重新提出了这个问题，希望能得到解答，如果我判断错误的话，希望我的错误能被指出。L答主给出了以y=kx的方式趋近于（+∞，+∞）的极限结果，然后判断极限是0，这应该是不对的。A答主的图贴在下面，通过将x与y的大小关系分成三类，来判断极限是0，我认为这也是不严谨的，这并没有刻画（x，y）趋近（+∞，+∞）的全部方式，还有可能以图3的方式趋近（+∞，+∞），在S答主的讨论里面就漏掉了。希望还有答主能给出回答，谢谢！
9.21号更新，我自己用ε-δ语言证出来了，谢谢大家。





Answer 1

我的答案部分，分三种情况可以证明极限肯定是0，那么用ε-δ语言其实很简单了，任意给定ε, 对三种情况都求得一个δ,三个δ的最小值肯定满足ε-δ语言

用我的方法其实也可以用你的任意路径法来判别，任意给定的一个逼近(0,0)的路径，可以用上述方法分割成子路径，既然每个子路径都满足极限条件，那么给定的路径肯定也满足

Answer 2

就用ε-N语言来证明