Question

急求高数下：求全微分方程（3x^2 e^y+3y^2）dx+(x^3 e^y+6xy)dy=0

如题，求全微分方程（3x^2 e^y+3y^2）dx+(x^3 e^y+6xy)dy=0（另外，图片中的过程错在哪？）

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

备注

Answer 2

∵(3x² e^y+3y²)dx=d(x³e^y+3xy²)，(x³e^y+6xy)dy=d(x³e^y+3xy²)，∴x³e^y+3xy²=C。

Answer 3

求微分方程（3x²e^y+3y²)dx+(x³e^y+6xy)dy=0的通解；
解：P=3x²e^y+3y²； Q=x³e^y+6xy；
由于∂P/∂y=3x²e^y+6y=∂Q/∂x；所以该方程是全微分方程，其通解u:
u(x，y)≡∫<0,x>P(x，y)dx+∫<0,y>Q(0，y)dy
=∫<0,x>(3x²e^y+3y²)dx+∫<0,y>(0+0)dy
=(x³e^y+3xy²)∣<0,x>+0=x³e^y+3xy²=C
即通解为: x³e^y+3xy²=C;
检验：du≡(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=(3x²e^y+3y²)dx+(x³e^y+6xy)dy=0