Question

正定矩阵，这个结论如何证明？

Answer 1

由于a正定，则a的特征值全大于0，而 a逆 的特征值全部为a特征值的倒数，因此也是全大于0，因此 a逆 正定。而 a*=|a|a逆，由于|a|为全体特征值的乘积，当然大于0，这样，a*的全体特征值一定都大于0（a*的特征值为 |a|与a逆 特征值的乘积），因此a*正定。

Answer 2

由于a正定，则a的特征值全大于0，而 a逆 的特征值全部为a特征值的倒数，因此也是全大于0，因此 a逆 正定。而 a*=|a|a逆，由于|a|为全体特征值的乘积，当然大于0，这样，a*的全体特征值一定都大于0（a*的特征值...

Answer 3

由于a正定，则a的特征值全大于0，而 a逆 的特征值全部为a特征值的倒数，因此也是全大于0，因此 a逆 正定。而 a*=|a|a逆，由于|a|为全体特征值的乘积，当然大于0，这样，a*的全体特征值一定都大于0（a*的特征值为 |a|与a逆 特征值的乘积），因此a*正定。

Answer 4

：显然是对的, 因为C的特征值 就是A B特征值的并集 你只需要按照特征值的定义一算就是了(分块对角矩阵行列式是每一个分块的行列式的乘积)

Answer 5

1.正定矩阵判定方法

正定矩阵是所有特征值均为正的对称矩阵。

由上一讲最后一个结论可以得到主元肯定也均为正，行列式肯定为正。

那么，怎样检验矩阵A是正定矩阵？从2x2讲起，

共4种判定方式：

举例：

用第4种方法证明，

画出f1图形如下：有负的部分。

画出f2图形如下：除了全零向量均为正。

可以推广到n维：

2.正定矩阵来源

正定矩阵主要来自用最小二乘法解方程组的时候，

3.极小值判定条件：

在微积分中是单个变量是：一阶导等于0，二阶导大于0.

多个变量元时：一阶偏导等于0，二阶偏导矩阵是正定矩阵。

举例：两个变量元时，二阶偏导矩阵如下：

4.椭圆

针对上面A2对应的图形，用z=1的平面去切割，得到一个斜椭圆

再举例：

把此对称矩阵对角化：

斜椭圆的轴分别是两个特征向量，两轴的长度由特征值决定，这也是称为主轴定理的原因。

下面操作将斜椭圆转化为正椭圆：