Question

证明y=x³是增函数的过程？

Answer 1

方法一、证明：（1）y＝x^3的定义域为（－∞，＋∞）；
（2）在其定义域为（－∞，＋∞）内任意取x1和x2，且x1＜x2
∴x1－x2＜0
∴f（x1）＝（x1）^3，f（x2）＝（x2）^3
∴f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）｛（x1）^2+（x2）^2+x1x2｝
∵（x1）^2+（x2）^2≥2｜x1x2丨
∴（x1）^2+（x2）^2＋x1x2＞0
∴f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）｛（x1）^2+（x2）^2+x1x2｝＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）＝x^3是增函数。
方法二、证明：y＝x^3，其定义城为（－∞，＋∞），所以y＇＝3x^2
∵当x∈（－∞，＋∞）时，y＇＝3x^2≥0
∴当x∈（－∞，＋∞）时，原函数y＝x^3是增函数。

Answer 2

证明：假设X1>X2，则
y1=X1³
，y2=X2³，
y1一y2=X1³一X2³
=（X1一X2）（X1²十X1X2+X2²）
∵X1>X2，X1一X2>0，
而X1>X2>0时或0>X1>X2时，
X1²>0，X2²>0，X1X2>0，
∴y1一y2>0，
y1>y2是增函数，
当X1>0>X2时
X1²十X1X2十X2²=（X1一X2）²一X1X2
∵（X1一X2）²>0，
X1X2<0，一X1X2>0，
∴X1²十X1X2十X2²>0，
∴y1一y2>0，
∴y1>y2，
∴y=X³是增函数

而X1²十X2²≥2X1X2

Answer 3

解，初中级段至高二方法。
设f(x)=x^3，x1<x2
f(x2)-f(x1)
=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x2^2)
而x2-x1>0且x2^2+x1x2+x2^2
则f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1)
故y=x^3为增函数。
高三以上
y'=3x^2≥0，就行

Answer 4

y'=3x²

令3x²=0 得 x=0
然后由于x²在（-∞，0）区间上恒大于0则y'也恒大于0
同理在（0，+∞）也恒大于0
所以y在（-∞，+∞）上为增函数

Answer 5

y=Ⅹ³，
y′=3X²≥0，
∴y=X³为增函数。