Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上。①若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示 △BEF的面积②是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由③是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：由题意可求得梯形的高是4。
1、等腰梯形的周长是24，周长的一半是12,即BE+BF=12,
当BE=x时，BF=12-x.
此时有：S△BEF=（1/2)x(12-x)sni∠B,
而sni∠B=4/5
所以：S△BEF=（1/2)x(12-x)(4/5),即S△BEF=-(2/5)x²+（24/5)x
定义域7≤x≤10。

2、存在。
梯形面积是28，一半是14。
即：14=-(2/5)x²+（24/5)x
解得：x1=7,x2=5<7(不符合题意，舍去）
当BE=7时，BF=12-7=5.
就是说，当F点与A点重合，BE=7时，EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分.
此时：EF=4√2。（这个不难求的）

3、不存在。
理由：
梯形周长的1/3是8，梯形面积的1/3是28/3。即：BE+BF=8,
当BE=x时，BF=8-x.
此时有：S△BEF=28/3=(1/2)*(4/5)x(8-x)
等式28/3=(1/2)*(4/5)x(8-x)变形得：3x²-24x+70=0,这个方程无解，这说明不存在把等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分的EF.

Answer 2

1：因为梯形周长是24，若EF平分等腰梯形ABCD的周长，则BF+BE=12，设BE长为x，则BF=12-X。因为点E在下底边BC上，点F在腰AB上，所以0＜BE≤10，0＜BF≤5，可以得出7≤X≤10。过A做BC的垂线交BC与H，过F做BC的垂线于G，所以直角三角形FGB和直角三角形AHB相似，由边长关系可以求出AH=4，所以BF/BA=FG/AH,（12-X）/5=FG/4,可以求出FG=0.8（12-X），所以△BEF的面积为FG×BE/2=-0.4X²+4.8X ，7≤X≤10。
2：要想使线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，只要在（1）中求出三角形面积等于梯形面积的一半，在7≤X≤10中有解就存在，没解救不存在。梯形面积等于28，-0.4X²+4.8X=14，整理得X²-12X+35=0，X=7复合题意。
3：同一二的做法，BF+BE=8，BF=8-X。因为点E在下底边BC上，点F在腰AB上，所以0＜BE≤10，0＜BF≤5，可以得出3≤X＜8。过A做BC的垂线交BC与H，过F做BC的垂线于G，所以直角三角形FGB和直角三角形AHB相似，由边长关系可以求出AH=4，所以BF/BA=FG/AH,（8-X）/5=FG/4,可以求出FG=0.8（8-X），所以△BEF的面积为FG×BE/2=-0.4X²+3.2X ，3≤X＜8。梯形面积/3=28/3,-0.4X²+3.2X =28/3，整理得3X²-24X+70=0，△=b²-4ac=24²-4×3×70=-264＜0，无解，所以不存在符合条件的线段

Answer 3

因 EF平分等腰梯形ABCD的周长,BE=x
所以 BF=12-x
而 BF=12-x<=AB=5
BE=x<=BC=10
所以12-x<=5
x<=10
即7<=x<=10

又因 等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10
从A，D分别做垂线交BC于G，H
则GH=4，BG=3，CH=3
直角三角形AGB中AB=5，BG=3
所以AG=4
所以sin角B=AG/AB=4/5

则三角形BEF中，由F做垂线交BE于I
那么sin角B=高/BF=高/(12-x)=4/5
所以高=4(12-x)/5

所以三角形BEF的面积=高*BE/2=2(12-x)x/5

三角形BEF的面积=2(12-x)x/5
范围7<=x<=10

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