Question

圆(x-1)²+(y-2)²=9上到直线3x-4y+1=0的距离为2的点的个数为？

Answer 1

首先，将直线3x - 4y + 1 = 0化为一般式，得到3x - 4y - 1 = 0。
圆心为 (1, 2)，半径为3，且圆心到直线的距离为2，因此该圆与直线3x - 4y - 1 = 0的两个交点到圆心的距离应该为3 - 2 = 1。

设交点为(x1, y1)和(x2, y2)，则它们满足以下方程组：
(x1 - 1)² + (y1 - 2)² = 9
(x2 - 1)² + (y2 - 2)² = 9
3x1 - 4y1 - 1 = 0
3x2 - 4y2 - 1 = 0

由于两交点到圆心距离相等，因此可以得到以下方程：
(x1 - 1)² + (y1 - 2)² = (x2 - 1)² + (y2 - 2)²
代入上述方程组中的直线方程中可得：
3(x2 - x1) - 4(y2 - y1) = 0

将上述两个方程联立，化简得到：
x1 - x2 = ±(2/5)√5(y1 - y2)

考虑令 y1 = t，那么 y2 = (3x2 + 1)/4，在上式中代入，得到：
x1 - x2 = ±(2/5)√5(t - (3x2 + 1)/4)

再代入圆的方程中，得到：
(x2 - 1)² + (t - 2)² = 9

这是一个以 x2 为横坐标，以 t 为纵坐标的二次函数图像，它的中心点为 (1, 2)，半径为 3。因此，它在 x 轴上的两个交点分别为 (1 - 3, 0) 和 (1 + 3, 0)，在 y 轴上的两个交点分别为 (1, 2 - 3) 和 (1, 2 + 3)。因此，相交的情况只可能是 x2 在区间 (1 - 3, 1) 或 (1, 1 + 3) 之内，即 -2 < x2 < 4。

对于任意满足上述条件的 x2 值，可以使用上述公式求解出相应的 y1 和 y2。因此，共有4个交点满足题目要求。