Question

已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为边AB的中点，∠EDF=90°

如图，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
要写清楚每一步过程，答得好有奖
急急急

Answer 1

图2成立
连接CD，可证出△CDE≌△BDF，△CDF≌△ADE
所以S△CEF+S△EFD=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△ADE=0.5S△ABC
图3不成立
关系是：S△DEF-S△CEF=0.5S△ABC
证明方法同图2，你可以自己想想

Answer 2

S△DEF+S△CEF= 2分之1S△ABC 仍然成立．
证明：当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，
连接CD．∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形．
又∵D为AB边的中点，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD= 2分之1S△ABC，
得证．

当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时：
猜想 S△DEF+S△CEF= 2分之1S△ABC，
证明：连接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD，
又S△BCD= 2分之1S△ABC，
则S△DEF+S△CEF= 2分之1S△ABC．
故答案是：S△DEF+S△CEF= 2分之1S△ABC，S△DEF+S△CEF=2分之1S △ABC． 解：图2成立；图3不成立
证明图2：
过点D作DM⊥AC，DN⊥BC
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°
再证∠MDE＝∠NDF，DM＝DN
有△DME≌△DNF，∴S△DME＝S△DNF
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF－S△DEF＋S△CEF
由信息可知S四边形DMCN＝1/2S△ABC
∴S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC
图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S △CE＝1/2S△ ABC

Answer 3

图2成立，证明如下：
连CD
∵△ABC为等腰三角形，D为AB中点
∴CD=BD=AD
∠CDB=90°
又∠EDF=90°
∴∠EDC=∠FDB
可证△EDC≌△FDB
∴S△EDC=S△FDB
∵S△BDC=1/2S△ABC
有S△BDC=S△CDF+S△BDF=S△EDF+S△CEF
∴S△DEF+S△CEF=1/2S△ABC

图3也可以连接CD和图2差不多，S△DEF-S△CEF=1/2S△ABC
想想就出来了
纯手打