Question

已知x=2ab/b的平方+1（a>0,b>0)，求证代数式根号a+x+根号a-x/根号a+x-根号a-x，

已知x=2ab/b的平方+1（a>0,b>0)，求证代数式根号a+x+根号a-x/根号a+x-根号a-x，当b>1时，值为b，当b<1时，值为1/b，当b=1时，值为1

Answer 1

1/x=(b²+1)/(2ab)
a/x=(b²+1)/2b
(a/x)²-1=(b^4+2b²+1)/(4b²)-1
=(b^4-2b²+1)/(4b²)
=(b²-1)²/(4b²)

[√(a+x)+√(a-x)]/[√(a+x)-√(a-x)]
=[√(a+x)+√(a-x)]²/[√(a+x)+√(a-x)][√(a+x)-√(a-x)]
=[a+x+2√(a²-x²)+a-x]/(a+x-a+x)
=[a+√(a²-x²)]/x
=(a/x)+√(a²-x²)/x
=(a/x)+√[(a²-x²)/x²]
=(a/x)+√[(a/x)²-1]
=(b²+1)/2b+√[(b²-1)²/(4b²)]
=(b²+1)/2b+|(b²-1)|/|2b|
b>0
所以
=(b²+1)/2b+|(b²-1)|/2b

0<b<1
则b²<1
所以|b²-1|=1-b²
原式=(b²+1)/2b+(1-b²)/2b=2/2b=1/b

b=1
原式=(1+1)/2+0/2=1

b>1
则b²>1
所以|b²-1|=b²-1
原式=(b²+1)/2b+(b²-1)/2b=2b²/2b=b

命题得证