Question

23．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）． （1）当a=- 1 4 时，求函数f（x）的单调

23．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）当a=- 1 4 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（3）利用ln（x+1）≤x，求证：ln{(1+ 2 2×3 )(1+ 4 3×5 )(1+ 8 5×9 )•…•[1+ 2n (2n-1+1)(2n+1) ]}＜1（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．

Answer 1

第一小题解：当a＝−1 4 时，f(x)＝−1 4 x2+ln(x+1)（x＞-1），f′(x)＝−1 2 x+1 x+1 ＝−(x+2)(x−1) 2(x+1) （x＞-1），
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
第二小题解：因当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）
由g′(x)＝2ax+1 x+1 −1=x[2ax+(2a−1)] x+1 ，
（1）当a=0时，g′(x)＝−x x+1 ，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立（2）当a＞0时，由g′(x)＝x[2ax+(2a−1)] x+1 ＝0，因x∈[0，+∞），所以x＝1 2a −1，
①若1 2a −1＜0，即a＞1 2 时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若1 2a −1≥0，即0＜a≤1 2 时，函数g（x）在(0，1 2a −1)上单调递减，在区间(1 2a −1，+∞)上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（3）当a＜0时，由g′(x)＝x[2ax+(2a−1)] x+1 ，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．