Question

在梯形ABCD中，AD平行BC,AB=CD=3，cos<ABC=1/3,点E在BD上，且满足BE*BD=9，若三角形ADE是直角三角形，

求AD的长度

Answer 1

在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3,cos∠ABD=1/3，点E在BD上，且满足BE*BD=9
（2）设AE/DE=x,梯形ABCD的面积为y，试求y与x之间的函数关系
（3）若△ADE是直角三角形，试求AD的长度是

解:(2)由条件可以知道ABCD为等腰梯形
∵BE*BD=9 AB=CD=3
∴AB^2=BE*BD (这里需要对数字有点敏感~也是解题关键)
即BE:AB=AB:BD ∠ABD为两三角形公共角
∴△ABE∽△ABD
∴∠ADB=∠BAE
ABCD为等腰梯形
∴∠DAB=∠ADC
证得∠DAE=∠BDC
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC（角度的转化比较多~做一下记号）
∴∠ADB=∠DBC ∠DAE=∠BDC
即△ADE∽△BCD
∴AE/DE=CD/BC=x
由于CD已知，我们可以利用它来表示上底和下底
下底BC=3/x
这个是等腰梯形，以A,D分别作高
容易证出BC=AD + 2*AB*cos∠ABC
=AD+ 2*3*1/3
=AD+2
∴上底AD=BC-2= 3/x -2

S=（6/x -2）*h*0.5
=（6/x -2）* AB*sin∠ABC *0.5
=（6/x -2）*√2
∴S=（6/x -2）*√2

(3)△ADE是直角三角形
那△BDC也是直角三角形，它们相似
cos∠ABC＝1/3
∴cos∠C=1/3
AD=BC-2
=CD/cos∠C -2
=3*3-2
=7