Question

已知函数f(x)＝lg1+x1?x．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）已知a，

已知函数f(x)＝lg1+x1?x．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）已知a，b∈（-1，1），且满足f(a)+f(b)＝f(a+b1+ab)，若f(a+b1+ab)＝1，f(a?b1?ab)＝2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

（1）若使函数f(x)＝lg

1+x

1?x

的解析式有意义，
自变量x须满足

1+x

1?x

＞0
∴-1＜x＜1，函数定义域（-1，1）…（2分）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=lg

1?x

1+x

＝?lg

1+x

1?x

=-f（x）
故f（x）为奇函数…（5分）
（2）函数在定义域上单调递增                                 …（7分）
证明：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1
∵f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

1?x1

-lg

1+x2

1?x2

=lg

(1+x1)(1?x2)

(1?x1)(1+x2)

而 

(1+x1)(1?x2)

(1?x1)(1+x2)

?1＝

2(x1?x2)

(1?x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）单调递增                                    …（11分）
（3）∵f(a)+f(b)＝f(

a+b

1+ab

)，f(

a+b

1+ab

)＝1，
∴f（a）+f（b）=1…①
∴f(a)+f(?b)＝f(

a?b

1?ab

)=f（a）-f（b）
又∵f(

a?b

1?ab

)＝2，
f（a）-f（b）=2…②
解得f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2