Question

如图，点M是边长为4cm的正方形纸片ABCD边AD上的一点，点E、F分别在边AB、CD上，ME⊥MF，连接EF．（1）若A

如图，点M是边长为4cm的正方形纸片ABCD边AD上的一点，点E、F分别在边AB、CD上，ME⊥MF，连接EF．（1）若AM=BE，①求证：△AEM≌△DMF；②求梯形AEFD的面积．（2）若ME=EB，连接BM、BF，求∠MBF的度数．

Answer 1

（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵AM=BE，
∴AE=DM，
∵ME⊥MF，
∴∠AME+∠DMF=∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠EMF，
在△AEM和△DMF中，

∠AEM＝∠DMF AE＝DM ∠A＝∠D

，
∴△AEM≌△DMF（ASA）；

②由①知△AEM≌△DMF，则AM=DF．
∵AM=BE，
∴DF=BE，
∴S_梯形AEFD=

1

2

（AE+DF）?AD=

1

2

AB?AD=

1

2

×4×4=8（cm²）；

（2）如图，

作BG⊥MF交MF于点G，ME⊥MF
∴∠A=∠BGM=∠EMF=90°，
∵ME=EB，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠AMB=90°-∠ABM，∠BMG=90°-∠EMB，
∴∠AMB=∠BMG，
在△AMB和△BMG中，

∠A＝∠BGM ∠AMB＝∠BMG BM＝BM

，
∴△AMB≌△BMG（AAS），
∴BA=BG，∠ABM=∠MBG，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，

BG＝BC BF＝BF

，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴∠GBF=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABM+∠MBG+∠GBF+∠CBF=2（∠MBG+∠GBF）=2∠MBF=90°，
∴∠MBF=45°．